Gol bunuh diri Joe Day membawa United memimpin enam menit setelah sepak mula, tetapi sundulan Alfie Kilgour menyamakan kedudukan untuk Bristol pada menit ke-21.
United kembali memimpin melalui penyelesaian serangan balik yang diakhiri tembakan keras Oliver Burke pada menit ke-59.
Sayangnya, keunggulan itu raib pada menit ke-62 saat kiper Aaron Ramsdale kembali takluk karena sundulan Max Ehmer.
Baca Juga: Duh, Artis Aura Kasih Dilarang Naik Pesawat Selama Dua Bulan, Penyebabnya Menyeramkan
Beruntung semenit kemudian Jayden Boggle kembali membawa United unggul dengan sepakan kaki kanannya mengkonversi umpan David McGoldrick dan skor 3-2 bagi tim besutan Chris Wilder bertahan hingga bubaran.
Rival sekota United, Sheffield Wednesday, juga melangkah ke babak keempat Piala FA setelah melewati tim strata keempat Exeter City dengan skor 2-0.
Baca Juga: Guru Ini Pulang Gunakan Sriwijaya Air SJ-182 usai Menjenguk Mertuanya yang Meninggal Dunia
Tim-tim lain yang secara bersamaan lolos adalah Bournemouth, Doncaster Rovers, Swansea City dan Wycombe Wanderers.